home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ IRIS Performer 2.2 Friends Demo / SGI IRIS Performer 2.2 Friends Demo.iso / friends / models / phd / harel / README < prev   
Text File  |  1997-10-31  |  6KB  |  106 lines
  1. The files in this directory are derived from the output of the program 
  2. Kaleido, which was written and distributed by Zvi Har'El over the USENET 
  3. News system. The following extract from the Kaleido document describes
  4. the original software and instructions for obtaining it.
  5.  
  6. ------------------------------------------------------------------------
  7.  
  8.                     Uniform Solution for Uniform Polyhedra*
  9.  
  10.                                    Zvi Har'El
  11.                            Department of Mathematics
  12.                    Technion - Israel Institute of Technology
  13.                               Haifa 32000, Israel
  14.                         E-Mail: rl@gauss.technion.ac.il
  15.  
  16.                                     ABSTRACT
  17.  
  18.                     An  arbitrary  precision  solution of uniform
  19.                polyhedra and their duals is presented. The  solu-
  20.                tion  is  uniform for all polyhedra given by their
  21.                kaleidoscopic construction, with no need to "exam-
  22.                ine" each polyhedron separately.
  23.  
  24.           1.  Introduction.
  25.  
  26.                Uniform polyhedra, whose faces are regular and vertices
  27.           equivalent, have been studied since  antiquity.  Best  known
  28.           are  the  five  Platonic solids and the thirteen Archimedean
  29.           solids. We then have the two infinite  families  of  uniform
  30.           prisms  and antiprisms. Allowing for star faces or vertices,
  31.           we have the four Kepler-Poinsot regular star polyhedra and a
  32.           row of fifty-three nonconvex uniform polyhedra discovered in
  33.           the 1880's and the 1930's.  The  complete  set  appeared  in
  34.           print  for  the  first  time in 1953, in a paper by Coxeter,
  35.           Longuet-Higgins and Miller ([CLM], see also [S]).
  36.  
  37.                Magnus Wenninger's delightful  book  Polyhedron  Models
  38.           [W1],  which  appeared  in 1971 but since has been reprinted
  39.           many times, contains photos and  building  instructions  for
  40.           cardboard  models  of  these seventy-five uniform polyhedra.
  41.           Reading the book, makes  the  mathematically  minded  reader
  42.           wonder:  How are the data for the models obtained? For exam-
  43.           ple, what makes 1.1600030093 the proper circumradius  for  a
  44.           great retrosnub icosidodecahedron** with edge length two?
  45.           -----------
  46.           *  12  August 1992. In memoriam of my father, Ger-
  47.           shon Har'El, who introduced me to  spatial  struc-
  48.           tures.
  49.  
  50.           **  This  is  the  [W2]  version of the polyhedron
  51.  
  52.                                        -2-
  53.  
  54.                It is easy to  check,  that  these  data  originate  in
  55.           [CLM],  table 7.  Some of the circumradii are exact, as they
  56.           are given in terms of integers and radicals only,  but  few,
  57.           as  the one mentioned above, are given approximately, to ten
  58.           decimal digits.  This may  be  considered  perhaps  accurate
  59.           enough,  but if one wants to incorporate polyhedra in a com-
  60.           puter modeling software (cf. [Hy]), one would prefer to  get
  61.           the  numbers  in  an  arbitrary precision, or in the maximum
  62.           precision the computer  can  handle.   Furthermore,  one  is
  63.           interested  in  exact, or maximum precision, values of other
  64.           geometric data, such as the dihedral angles of  the  polyhe-
  65.           dra, and for these the only available data are for the regu-
  66.           lar and the convex cases, and are accurate to 1'' (cf. [CR],
  67.           table II and [J], table II).
  68.  
  69.                This  problem was treated by Andrew Hume. His method is
  70.           best described by a short quotation from his report [Hm]:
  71.  
  72.                In general, the data are  solutions  of  equations
  73.                found by examining the polyhedra (for example [L],
  74.                pp. 174-176). The equations were solved  at  least
  75.                three times using symbolic algebra systems...
  76.  
  77.                Uniform  polyhedra  for  which symbolic algebra systems
  78.           are useful are the so called snub polyhedra, and the  compu-
  79.           tations  involve solving cubic or quartic equations.  Hume's
  80.           solutions were used to create a database of polyhedra, which
  81.           is publicly available at netlib@research.att.com.
  82.  
  83.                Our approach is quite different. Rather then separately
  84.           examining  individual  polyhedra,  we  suggest   a   uniform
  85.           approach,  which is easy to understand and easy to use, even
  86.           with a hand-held calculator, and it eliminates the need  for
  87.           a  database for uniform polyhedra and their duals, since the
  88.           fast iterative algorithm may yield arbitrary precision data.
  89.           Furthermore,  it  may be used in the same ease for convex as
  90.           well as for nonconvex polyhedra (which are  not  treated  by
  91.           [Hm]).  A  computer  program,  called kaleido (cf. [Ha]) and
  92.           publicly available  at  ftp@gauss.technion.ac.il,  has  been
  93.           developed  to  compute the data of a uniform polyhedron (and
  94.           its dual), given either the vertex configuration,  i.e,  the
  95.           enumeration of the polygons appearing as faces incident at a
  96.           vertex in the order in which they are found (cf. [CR],  sec-
  97.           tion 2.9.2), or the so-called Wythoff symbol which describes
  98.           the kaleidoscopic construction of the polyhedron (cf. [CLM],
  99.           section 3).  Kaleido is also capable of computing the vertex
  100.           and face coordinates and displaying  a  rotating  wire-frame
  101.           image of each polyhedron.
  102.  
  103.                We would like to express our gratitude to H. S. M. Cox-
  104.           eter, Branko Gr.nbaum and Andrew Hume, for the  very  useful
  105.           and enlightening comments.
  106.